martes, 25 de octubre de 2011

PENDULO SIMPLE


El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.
El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.

Ecuación del movimiento

Péndulo simple. Esquema de fuerzas..

[editar]Método de Newton

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, \ell, del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.
Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.
La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:
F_\text{t} = -mg\sin{\theta} = ma_\text{t} \,
siendo at, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).
Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner
a_\text{t}= \ell\ddot\theta \,
siendo \ddot\theta \, la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:
-mg\sin\theta = m\ell\ddot\theta \qquad\Rightarrow\qquad \ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0 \,
Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

[editar]Método de Lagrange

El lagrangiano del sistema es
\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos{\theta}
donde \theta\, es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y l\, es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue
\frac{d}{dt}\frac{\part\mathcal L}{\part\dot\theta} - \frac{\part\mathcal L}{\part\theta}=0 \qquad\Rightarrow\qquad ml^2\ddot\theta + mgl\sin\theta = 0
y obtenemos la ecuación del movimiento es
l\ddot{\theta} + g\sin{\theta} = 0
de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.



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jueves, 13 de octubre de 2011

Ley de Hooke en sólidos elásticos


En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:
\sigma_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,
Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.
De tal forma que la deformación Є es una cantidad adimencional,el modulo E se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo σ (unidades pa, psi y ksi).El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material .En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido;en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo σ para el que la similitud entre σ y Є deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales,como resistencia ,ductibilidad y resistencia de corrosión;que pueden afectarse debido a la aleación ,el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.


 Caso unidimensional

En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar σ = σ11, ε = ε11, C11 = E y la ecuación anterior se reduce a:
\sigma = E\epsilon \,
donde E es el módulo de Young.

 Caso tridimensional isótropo

Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (ν). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:
\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}
\epsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz}
\epsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}) \right) \qquad \epsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz}
En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:
\begin{pmatrix} \varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{zz}\\ \varepsilon_{xy}\\ \varepsilon_{xz}\\ \varepsilon_{yz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\ -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\ -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} \\ & & & \frac{(1+\nu)}{E} & 0 & 0 \\ & & & 0 & \frac{(1+\nu)}{E} & 0 \\ & & & 0 & 0 & \frac{(1+\nu)}{E} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{zz}\\ \sigma_{xy}\\ \sigma_{xz}\\ \sigma_{yz} \end{pmatrix}
Las relaciones inversas vienen dadas por:
\begin{pmatrix} \sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{zz}\\ \sigma_{xy}\\ \sigma_{xz}\\ \sigma_{yz} \end{pmatrix} = \frac{E}{1+\nu} \begin{pmatrix} \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\ \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\ \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & & & \\ & & & 1 & 0 & 0 \\ & & & 0 & 1 & 0 \\ & & & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{zz}\\ \varepsilon_{xy}\\ \varepsilon_{xz}\\ \varepsilon_{yz} \end{pmatrix}
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