Mary Dií Huerta: 2011

martes, 25 de octubre de 2011

PENDULO SIMPLE

El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.

Ecuación del movimiento

Péndulo simple. Esquema de fuerzas..

[editar]Método de Newton

Consideremos un péndulo simple, como el representado en la Figura. Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud, $\ell$ , del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.

Para determinar la naturaleza de las oscilaciones deberemos escribir la ecuación del movimiento de la partícula.

La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (mg) y la tensión del hilo (N), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos:

$F_\text{t} = -mg\sin{\theta} = ma_\text{t} \,$

siendo a_t, la aceleración tangencial y donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza tangencial tiene siempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora).

Al tratarse de un movimiento circular, podemos poner

$a_\text{t}= \ell\ddot\theta \,$

siendo $\ddot\theta \,$ la aceleración angular, de modo que la ec. dif. del movimiento es:

$-mg\sin\theta = m\ell\ddot\theta \qquad\Rightarrow\qquad \ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0 \,$

Esta ec. dif. no corresponde a un movimiento armónico simple (m.a.s.) debido a la presencia de la función seno, de modo que podemos asegurar que el movimiento del péndulo simple no es armónico simple, en general.

[editar]Método de Lagrange

El lagrangiano del sistema es

$\mathcal{L} = T - V = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 + mgl\cos{\theta}$

donde $\theta\,$ es la elongación angular (ángulo que forma el hilo con la vertical) y $l\,$ es la longitud del hilo. Aplicando las ecuaciones de Lagrange se sigue

$\frac{d}{dt}\frac{\part\mathcal L}{\part\dot\theta} - \frac{\part\mathcal L}{\part\theta}=0 \qquad\Rightarrow\qquad ml^2\ddot\theta + mgl\sin\theta = 0$

y obtenemos la ecuación del movimiento es

$l\ddot{\theta} + g\sin{\theta} = 0$

de modo que la masa no interviene en el movimiento de un péndulo.

jueves, 13 de octubre de 2011

Ley de Hooke en sólidos elásticos

En la mecánica de sólidos deformables elásticos la distribución de tensiones es mucho más complicada que en un resorte o una barra estirada sólo según su eje. La deformación en el caso más general necesita ser descrita mediante un tensor de deformaciones mientras que los esfuerzos internos en el material necesitan se representados por un tensor de tensiones. Estos dos tensores están relacionados por ecuaciones lineales conocidas por ecuaciones de Hooke generalizadas o ecuaciones de Lamé-Hooke, que son las ecuaciones constitutivas que caracterizan el comportamiento de un sólido elástico lineal. Estas ecuaciones tienen la forma general:

$\sigma_{ij} = \sum_{k,l} C_{ijkl}\varepsilon_{kl} \,$

Gran parte de las estructuras de ingeniería son diseñadas para sufrir deformaciones pequeñas,se involucran sólo en la recta del diagrama de esfuerzo y deformación.
De tal forma que la deformación Є es una cantidad adimencional,el modulo E se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo σ (unidades pa, psi y ksi).El máximo valor del esfuerzo para el que puede emplearse la ley de Hooke en un material es conocido como límite de proporcionalidad de un material .En este caso, los materiales dúctiles que poseen un punto de cedencia definido;en ciertos materiales no puede definirse la proporcionalidad de cedencia fácilmente, ya que es difícil determinar con precisión el valor del esfuerzo σ para el que la similitud entre σ y Є deje de ser lineal. Al utilizar la ley de Hooke en valores mayores que el límite de proporcionalidad no conducirá a ningún error significativo. En resistencia de materiales se involucra en las propiedades físicas de materiales,como resistencia ,ductibilidad y resistencia de corrosión;que pueden afectarse debido a la aleación ,el tratamiento térmico y el proceso de manofactura.

Caso unidimensional

En el caso de un problema unidimensional donde las deformaciones o tensiones en direcciones perpendiculares a una dirección dada son irrelevantes o se pueden ignorar σ = σ₁₁, ε = ε₁₁, C₁₁ = E y la ecuación anterior se reduce a:

$\sigma = E\epsilon \,$

donde E es el módulo de Young.

Caso tridimensional isótropo

Para caracterizar el comportamiento de un sólido elástico lineal e isótropo se requieren además del módulo de Young otra constante elástica, llamada coeficiente de Poisson (ν). Por otro lado, las ecuaciones de Lamé-Hooke para un sólido elástico lineal e isótropo pueden ser deducidas del teorema de Rivlin-Ericksen, que pueden escribirse en la forma:

$\epsilon_{xx} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{xx} - \nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{xy} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xy}$

$\epsilon_{yy} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{yy} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz}) \right) \qquad \epsilon_{yz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{yz}$

$\epsilon_{zz} = \frac{1}{E}\left( \sigma_{zz} - \nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}) \right) \qquad \epsilon_{xz} = \frac{(1+\nu)}{E}\sigma_{xz}$

En forma matricial, en términos del módulo de Young y el coeficiente de Poisson como:

$\begin{pmatrix} \varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{zz}\\ \varepsilon_{xy}\\ \varepsilon_{xz}\\ \varepsilon_{yz} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\ -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} & -\frac{\nu}{E} & & & \\ -\frac{\nu}{E} & -\frac{\nu}{E} & \frac{1}{E} \\ & & & \frac{(1+\nu)}{E} & 0 & 0 \\ & & & 0 & \frac{(1+\nu)}{E} & 0 \\ & & & 0 & 0 & \frac{(1+\nu)}{E} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{zz}\\ \sigma_{xy}\\ \sigma_{xz}\\ \sigma_{yz} \end{pmatrix}$

Las relaciones inversas vienen dadas por:

$\begin{pmatrix} \sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{zz}\\ \sigma_{xy}\\ \sigma_{xz}\\ \sigma_{yz} \end{pmatrix} = \frac{E}{1+\nu} \begin{pmatrix} \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\ \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & & & \\ \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & & & \\ & & & 1 & 0 & 0 \\ & & & 0 & 1 & 0 \\ & & & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{zz}\\ \varepsilon_{xy}\\ \varepsilon_{xz}\\ \varepsilon_{yz} \end{pmatrix}$

miércoles, 28 de septiembre de 2011

Ley de elasticidad de Hooke

En física, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos del estiramiento longitudinal, establece que el alargamiento unitario que experimenta un material elástico es directamente proporcional a la fuerza aplicada F:

$\epsilon = \frac{\delta}{L} = \frac{F}{AE}$

siendo δ el alargamiento, L la longitud original, E: módulo de Young, A la sección transversal de la pieza estirada. La ley se aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite elástico.
Esta ley recibe su nombre de Robert Hooke, físico británico contemporáneo de Isaac Newton. Ante el temor de que alguien se apoderara de su descubrimiento, Hooke lo publicó en forma de un famoso anagrama, ceiiinosssttuv, revelando su contenido un par de años más tarde. El anagrama significa Ut tensio sic vis ("como la extensión, así la fuerza").

Ley de Hooke para los resortes

La forma más común de representar matemáticamente la Ley de Hooke es mediante la ecuación del muelle o resorte, donde se relaciona la fuerza F ejercida sobre el resorte con la elongación o alargamiento δ producido:

$F = -k\delta \,$

donde k se llama constante elástica del resorte y $\delta\,$ es su elongación o variación que experimenta su longitud.
La energía de deformación o energía potencial elástica $U k$ asociada al estiramiento del resorte viene dada por la siguiente ecuación:

$U_k=\frac{1}{2} k{\delta}^2$

Es importante notar que la

k

antes definida depende de la longitud del muelle y de su constitución. Definiremos ahora una constante intrínseca del resorte independiente de la longitud de este y estableceremos así la ley diferencial constitutiva de un muelle. Multiplicando

k

por la longitud total, y llamando al producto $k_i\,$ o $k\,$ intrínseca, se tiene:

$k=\frac{k_i}{L}$

Llamaremos $F(x)\,$ a la tensión en una sección del muelle situada una distancia x de uno de sus extremos que tomamos como origen de coordenadas,

k Δ x

a la constante de un pequeño trozo de muelle de longitud

Δ x

a la misma distancia y

δ Δ x

al alargamiento de ese pequeño trozo en virtud de la aplicación de la fuerza

F (x)

. Por la ley del muelle completo:

$F(x)=-k_{\Delta x}\delta_{\Delta x}=-k_i\frac{\delta_{\Delta x}}{\Delta x}$

Tomando el límite:

$F(x)=-k_i\frac{{\delta}_{dx}}{dx}$

que por el principio de superposición resulta:

$F\left(x\right)=-k_i\frac{d{\delta}}{dx}=-AE\frac{d\delta}{dx}$

Que es la ecuación diferencial del muelle. Si se integra para todo x, de obtiene como ecuación de onda unidimensional que describe los fenómenos ondulatorios (Ver: Muelle elástico). La velocidad de propagación de las vibraciones en un resorte se calcula como:

$c=\sqrt{\frac{E}{\rho}}$

miércoles, 21 de septiembre de 2011

Leyes de Newton

Durante muchos siglos se intentó encontrar leyes fundamentales que se apliquen a todas o por lo menos a muchas experiencias cotidianas relativas al movimiento. Fue un tema central de la filosofía natural. No fue sino hasta la época de Galileo y Newton cuando se efectuaron dramáticos progresos en la resolución de esta búsqueda.

Isaac Newton (1642 - 1727), nacido el año que murió Galileo, es el principal arquitecto de la mecanica clasica, la cual se resume en sus tres leyes del movimiento.

Antes de la época de Galileo, la mayoría de los pensadores o filósofos sostenía que se necesitaba alguna influencia externa o "fuerza" para mantener a un cuerpo en movimiento. Se creía que para que un cuerpo se moviera con velocidad constante en línea recta necesariamente tenía que impulsarlo algún agente externo; de otra manera, "naturalmente" se detendría. Fue el genio de Galileo el que imaginó el caso límite de ausencia de friccion e interpretó a la fricción como una fuerza, llegando a la conclusión de que un objeto continuará moviéndose con velocidad constante, si no actúa alguna fuerza para cambiar ese movimiento.

Las tres leyes de Newton del movimiento son las llamadas leyes clasicas del movimiento. Ellas iluminaron por 200 años el conocimiento científico y no fueron objetadas hasta que Albert Einstein desarrolló la teoría de la relatividad en 1905.

Primera Ley de Newton, de la Inercia

Establece que si la fuerza neta sobre un objeto es cero, si el objeto está en reposo, permanecerá en reposo y si está en movimiento permanecerá en movimiento en línea recta con velocidad constante. Un ejemplo de esto puede encontrarse en el movimiento de los meteoritos y asteroides, que vagan por el espacio en línea recta a velocidad constante, siempre que no se encuentren cercanos a un cuerpo celeste que los desvíe de su trayectoria rectilínea.

La tendencia de un cuerpo a resistir un cambio en su movimiento se llama inercia. La masa es una medida de la inercia de un cuerpo. El peso se refiere a la fuerza de gravedad sobre un cuerpo, que no debe confundirse con su masa.

Segunda Ley de Newton, de la Masa

Indica que la aceleracion de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa.

F = ma

Este tema está tratado y se accede presionando: Segunda Ley de Newton.

Tercera Ley de Newton, Principo de Accion y Reaccion

Establece que siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre un segundo cuerpo, el segundo cuerpo ejerce una fuerza sobre el primero cuya magnitud es igual, pero en dirección contraria a la primera.

Leyes de Newton: Fuerza de Friccion y Diagrama de Cuerpo Libre o Diagrama de Cuerpo Aislado

Cuando dos cuerpos se deslizan entre sí, la fuerza de fricción que ejerce uno sobre el otro se puede definir en forma aproximada como

, donde N es la fuerza normal, o sea la fuerza que cada cuerpo ejerce sobre otro, en dirección perpendicular a la superficie de contacto;

se usa para denotar el coeficiente de friccion cinética si hay movimiento relativo entre los cuerpos; si están en reposo,

es el coeficiente de friccion estática y

es la máxima fuerza de friccion justo antes de que se inicie el movimiento.

domingo, 11 de septiembre de 2011

MOVIMIENTO ACELERADO

Movimiento Acelerado

Movimiento acelerado o variado se le llama a cualquier movimiento cuya velocidad no permanezca constante, es decir, un movimiento en el cual la velocidad aumente, disminuya (frene) o cambie de dirección. Este movimiento es típico de un carro de montaña rusa.

La aceleración es el cambio de rapidez en un período de tiempo: a = delta v/t
donde delta v = v (final) - v (inicial)
La aceleración de un móvil se puede graficar como distancia vs tiempo o como velocidad vs tiempo.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

De acuerdo a la 1ª Ley de Newton toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo.

Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas. El movimiento es inherente que va relacioneado y podemos decir que forma parte de la materia misma.

Ya que en realidad no podemos afirmar que algún objeto se encuentre en reposo total.

El MRU se caracteriza por:

a)Movimiento que se realiza en una sóla direccion en el eje horizontal.

b)Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables.

c)Las magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0).

Relación Matemática del MRU:

El concepto de velocidad es el cambio de posición (desplazamiento) con respecto al tiempo.

Fórmula:

v= d/t ; d=v*t ; t=d/v

v=velocidad d=distancia o desplazamiento t=tiempo

MECÁNICA: Parte de la Física que estudia el movimiento, lo que lo produce y lo que lo modifica y afecta y se divide en:

Ciniemática:Estudia el movimiento sin importar las causas.

Dinámica:Estudia el movimiento así como sus causas.

Dentro del movimiento existe un móvil (el que se mueve) y el camino que sigue éste (trayectoria).

Distancia:Cantidad escalar. Que tanto recorre el móvil.

Desplazamiento:Cantidad vectorial. Es la distancia con su dirección.

Rapidez:Cantidad escalar y es la relación de la longitud con un intervalo de tiempo.

Velocidad:Cantidad vectorial, relación del desplazamiento en un intervalo de tiempo.

Velocidad y Rapidez Instantanea: Medición en el momento en un punto arbitrareo.

Velocidad y Rapidez Media:Promedio entre la velocidad inicial y la velocidad final. (Vi y Vf) Vi+Vf/2.

Velocidad y Rapidez Promedio:Distancia recorrida entre el tiempo transcurrido en recorrer dicha distacia.

PROBLEMA:

Un corredor trota de un extremo a otro de la pista en línea recta 300m en 2.5 min., luego se voltea y trota 100m hacia el punto de partida en otro minuto.

1.-¿Cuáles son la rapidez y velocidad promedio del trotador al ir del punto A al B y del punto B al C?

2.-¿Cuál es la rapidez y velocidad media del trotador para los mismos casos?

1.-a) rprom= 300m/2.5min=120 m/min

b)rprom=400m/3.5 min = 114.28 m/min

a)vprom=300m / 2.5 min=120m/min 0º (E)

b) vprom= 200m/3.5min = 57.14 m/min 0º (E)

2.-a) r=ri + rf / 2= 0+120m/min /2 = 60 m/min

b) (0+114.28 m/min /2= 57.14 m/min

a)v= 0+120 m/min /2 = 60 m/min al E

b) v= 0+57.14 m/min /2 = 28.57 m/min al E

3.- rb=120m/min rc= 100m/min

r= 120 m/min+100m/min /2 =

r= 110 m/min.

Rapidez promedio: a)120 m/min b)114.28 m/min

Velocidad promedio: a) 120m/min al E b)57.14m/min al E

Rapidez media: a)60m/min b)57.14m/min

Velocidad media: a)60m/min al E b)28.57m/min al E

GRAFICAS DE MRU.

Al graficar el desplazamiento (distancia) contra tiempo se obtiene ina línea recta. La pendiente de la línea recta representa el valor de la velocidad para dicha partícula.

Al realizar la gráfica de velocidad contra tiempo obtenemos una recta paralela al eje X. Podemos calcular el deslazamiento como el área bajo la línea recta.